บทที่ 4 ระบบจำนวน

ระบบจำนวน (Namber System)

แนวคิด

ชีวิตประจำวันมนุษย์ จำนวนและตัวเลขได้เข้ามาเกี่ยวข้องในการติดต่อสื่อสาร การแลกเปลี่ยนชื้อขาย การคิดคำนวณ และเก็บข้อมูลสถิติเพื่อมาทำวิจัย โอยอาศัยเครื่องคำนวณและคอมพิวเตอร์เมื่อมีจำนวนตัวเลขมาก หรือเมื่อต้องการความสะดวก ตัวเลขมีหลายชนิดคุณสมบัติแต่งต่างกันและสอดคล้องกันอย่างเป็นระบบ ประกอบด้วย จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และอตรรกยะ ซึ่งรวมทั่งหมดเรียกว่า ระบบจำนวนจริง

เนื้อหา

โครงสร้างของระบบจำนวนจริง
จำนวนธรรมชาติ
จำนวนเต็ม
จำนวนตรรกยะ
จำนวนอตรรกยะ
จำนวนจริง
ช่วงของจำนวน
อสมการ

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถจำแนกโครงสร้างของของระบบจำนวนจริงได้ (K)
นักเรียนสามารถใช้คุณสมบัติที่จำเป็นของจำนวนจริงได้อย่างถูกต้อง (P)
นักเรียนเห็นความสำคัญของระบบจำนวน (A)

โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริงที่ใช้อยู่ในทางคณิตศาสตร์จำแนกเป็นโครงสร้างดังนี้

จากโครงสร้างระบบจำนวน จำนวนจริงเป็นระบบใหญ่ที่ครอบคลุมจำนวนชนิดต่าง ๆ แยกย่อยลงไปเป็นจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะแบ่งเป็นจำนวนที่อยู่ในรูปของเศษส่วน ทศนิยมชนิดซ้ำและจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มแบ่งเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบและศูนย์ ซึ่งจำนวนเต็มบวกและจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนชนิดเดียวกัน แต่จำนวนธรรมชาติหรือจำนวนนับมีกำเนิดและวิวัฒนาการมาก่อน

จำนวนแต่ละชนิดที่กล่าวถึงในโครงสร้างของระบบจำนวนมีบทบาทใช้ในการคำนวณและสื่อสาร และโประโยชน์ด้านวิทยาศาสตร์แพร่หลายทั่วถึงระหว่างมวลมนุษย์ชาติทั่วโลก

จำนวนธรรมชาติ (Natural Number)

จำนวนธรรมชาติเรียกอีกชื้อหนึ่งว่า จำนวนนับ มนุษย์เรียนรู้เกี่ยวกับคำนวณตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์โดยเริ่มจากจากการนับซึ่งจะนับจำนวนสัตว์ที่ล่ามาเป็นอาหาร จำนวนสิ่งของที่มีอยู่ จำนวนที่ใช้ในการนับคือ 1,2,3,……. จำนวนนับเหล่านี้ในยุคดัน ๆ นับไม่ได้มากนัก และวิวัฒนาการนับได้มากขึ้นในระยะต่อมา จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนธรรมชาติ (Natural Number) กำหนดให้เชตของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย N โดยที่

N = {1,2,3,………}

หลังจากนั้นมนุษย์ได้เรียนรู้เกียวกับจำนวนมากขึ้นจึงมีนักคิดที่เรียกว่าคณิตศาสตร์ได้คิดค้นเกียวกับการปฎิบัติการระหว่างจำนวน ได้แก่ บวก (+) ลบ (-) คูณ (x) หาร() ตลอดจนกำหนดคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติให้เป็นระบบ โดยกำหนดคุณสมบัติระบบจำนวนธรรมชาติกับการบวกและคูณก่อน

ระบบจำนวนธรรมชาติ (System of Natural Numder)

1.สมบัติปิด (Closure Law)

– กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว

– สำหรับการบวก a+b เป็นจำนวนธรรมชาติ

– สำหรับการคูณ a.b เป็นจำนวนธรรมชาติ

เช่น 2,5 เป็นจำนวนนับจะได้ 2+5 = 7 โดยที่ 7 เป็นจำนวนนัลเช่นกัน

2.สมบัติการจัดหมู่ (Associave Law)

– กำหนด a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว

– สำหรับการบวก (a+b)+c = a+(b+c) และสำหรับการคูณ (a.b).c = a.(b.c)

เช่น 2,5,9 เป็นจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติจะได้ (2+5)+9 = 2+ (5+9)

3.สมบัติสลับที่ (Commutative Law)

– กำหนด a,b เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว

– สำหรับการบวก (a+b) = b+a และสำหรับการคูณ a.b = b.a

เช่น 3+2 = 2+3 ผลลัพท์ที่ได้ยังคงเท่ากัน

4.เอกลักษณ์ (Identity) สำหรับการคูณ 1

– กำหนด a เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ a.1 = 1.a = a

เช่น b เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้ 1.b = b.1 = b

สำหรับเอกลัษณ์การบวกมนจำนวนธรรมชาติไม่มีกำหนดไว้

5.สมบัติการกระจาย (Distridutive Law)

– ถ่า a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ว่า a.(b+c) = a.b + a.c

หรือ (b+c).a = b.a+c.a

หมายเหตุ การกำหนดเครื่องหมายคูณมีวิวัฒนาการตามลำดับ คือ ใช้ “ . ” แทนการคูณก่อนแล้วต่อมาคือเป็น “X” ที่เราคุ้นเคยในปัจจุบัน

เช่น 3 X 4 จะเขียนแทน 3.4

และ ab จะเขียนแทน a.b

เนื่องจากต่อมามีการคิดจำนวนทศนิยมขึ้นการใช้เครื่องหมายคูณแบบเดิมทำให้เกิดความสับสนได้ จึงไม่นิยมแต่ก็ยังมีใช้ในคณิตศาสตร์บางเรื่อง

คุณสมบัติเกี่ยวกับการลบและการหาร

กำหนดการลบโดยอาศัยคุณสมบัติของการบวก โดยที่การลบเป็นการกระทำกลับกันของการบวก ในจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือถ้า a,b,d เป็นจำนวนธรรมชาติซึ่ง a-b=d หมายความว่า a ลบออกด้วย b จะเป็นไปได้เมื่อจำนวน d ที่ทำให้ a = b+d เช่น 2-5 เท่ากับเท่าใด จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ 5-2 = 3 ซึ่ง 3 เป็นจำนวนธรรมชาติที่ 5 =2+3 แต่ 2-5 ไม่มีผลลัพธ์ในจำนวนธรรมชาติ

กำหนดการหารโดยอาศัยคุณสมบัติของการคูณ โดยที่การหารเป็นการกระทำกลับของการคูณในจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ ถ้า a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติซึ้ง

= c หมายความว่า การหาร a ด้วย b จะเป็นไปได้เมื่อมี c ที่ทำให้ a = bc และเรียก c ว่าผลหารของ a และ b การหารด้วย a ด้วย b เขียนแทน

จำนวนเต็ม (Integer Numder)

เมื่อพิจารณา a,b ที่เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะเห็นได้ว่า a-b และ

, b 0 อาจ

เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ก็ได้ เช่น

ผลลัพธ์ของจำนวนเหล่านี้ไม่เป็นจำนวนธรรมชาติ

นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นแก่ปัญหาเหล่านี้โดยเพิ่ม 0 (ศูนย์) เข้าไปในระบบจำนวนธรรมชาติ โดยกำหนด a เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ว่า a + 0 = 0 + a = a เพิ่ม “ –a ” โดยกำหนด a+ (-a) = (-a) + a = 0 และเรียกว่า –a ว่าเป็นจำนวนเต็มลบ ของ a และนิยมเรียกจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก รวมจำนวนเต็มบวก จำนวนศูนย์และจำนวนเต็มลบด้วยกันเป็นจำนวนเต็ม และเขียนแทนด้วย l โอยที่ l = {…..,-3,-2,-1,0,1,2,3,….}

พิจารณาความสัมพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ N = {1,2,3,…} พบว่าเป็นส่วนย่อยหรือเป็นเชตย่อยของ

เชต l

สัญลักษณ์ I+ แทนเชตจำนวนเต็มบวก

I+ = {1,2,3,…..}

I– แทนเชตจำนวนเต็มลบ

I– = {-1,-2,-3,….}

a – b หมายถึง a+(-b) โดยที่ a , b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

ระบบของจำนวนเต็มกับการบวกและการคูณมีคุณสมบัติทั้งหมดเช่นเดียวกับจำนวนนับและมีสมบัติเพิ่มเติมดังนี้

เอกลักษณ์ (ldentity) สำหรับการบวก 0 โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ a + 0 = a = 0 + a เช่น 5+0 = 5 = 0 + 5
ผกผัน (lnverse) สำหรับการบวก สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีจำนวเต็มเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น คือ -a ที่ทำให้ a+ (-a) = 0 =(-a) + a และเรียก –a นี้ว่า ผกผันการบวกของ a เช่น สำหรับจำนวน 5 มี -5 เป็นผกผัน โดยที่ 5+ (-5) = 0 = (-5)+5

จำนวนตรรกยะ (Rational Numder)

ถ้าให้ a , b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ พิจารณาผลหารของ

พบว่าอาจเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ก็ได้ นั้นคือจำนวนเต็มไม่มีคุณสมบัติปิดำหรับการหาร

นักคณิตศาสตร์จึงคิดคัดจำนวนเต็มในรูปแบบเศษส่วน

โดยกำหนด

,b≠0 เรียกว่าจำนวนตรรกยะ และจำนวนเต็ม a ใด ๆ ก็สามารถเขียนในรูปของเศษส่วนคือ

ได้ดังนั้นจึงนับว่าเป็นจำนวน ตรรกยะด้วย

สำหรับเศษส่วน

, b≠0 เมื่อทำให้อยู่ในรูปทศนิยมโดยการหารผลลัพธ์อาจจะเป็นทศนิยมซ้ำรู้จบ หรือ ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ อย่างใดอย่างหนึ่ง

กล่าวได้ว่าจำนวนตรรกยะประกอบด้วย จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำแบบรู้จบและไม่รู้จบ

สัญลักษณ์ ให้ Q แทนเชตจำนวนตรรกยะ และ Q ={

ซึ่ง p , q เป็นจำนวนเต็ม q≠0}

ทศนิยมซ้ำรู้จบ

ได้แก่ จำนวนเศษส่วน

,b≠0 มีผลหารเป็นทศนิยมลงตัว เช่น

= 0.4

หรือ = 0.4000… ซึ่งจะเห็นเป็นทศนิยมซ้ำรู้จบแม้ว่าจะมี 0 อีกก็ตาม

ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ

ได้แก่ จำนวนเศษส่วน

,b≠0 มีผลหารเป็นทศนิยมซ้ำกัน เช่น

= 0.3333…เขียนแทนด้วย 0.3

นั้นคือสามารถเขียนจำนวนเศษส่วนในรูปทศนิยมซ้ำได้ และทำนองเดียวกัน สามารถเขียนทศนิยมซ้ำไปอยู่ในรูปเศษส่วนได้

คุณสมบัติของตรรกยะ

จำนวนตรรกยะเป็นส่วนที่ประกอบขึ้นจากระบบจำนวนเต็มดังนั้นจึงมีคุณสมบัติเบื่องต้นเหมื่อนกันกับระบบจำนวนเต็มกับการบวกและคูณ และมีคุณสมบัติเพิ่มเติ่มดังนี้

สมบัติผกผันการคูณ

สำหรับจำนวน a 0 จะเป็นตรรกยะใด ๆ จะมีจำนวนตรรกยะ

เพียงจำนวนเดียวที่ทำ

ให้

และเรียก

ว่าเป็นผกผัน การคูณของ a และเขียนแทนด้วย

เช่น 5 มีอินเวอร์การคูณ คือ

ซึ่ง

มีอินเวอร์การคูณ คือ 3 ซึ่ง

สรุป ผลบวกของจำนวนตรรกยะสองจำนวนใด ๆ ยังเป็นจำนวนตรรกยะผลคูณของจำนวนตรรกยะสองจำนวนใด ๆ ยังเป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numde)

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้

, b≠0 เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มได้ นั้นคือจำนวนตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ได้ใช้จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Q’ จำนวนอตรรกยะได้แก่

จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น 3124568…… 0.123123412345……
จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์และไม่สามารถหาค่าให้เป็นจำนวนตรรกยะได้ เช่น

= 1.41421…..

= 1.72305….

จำนวน π = 141159…

e = 2.71828….

การปฏิบัติการของจำนวนอตรรกยะ

การบวกหรือลบ จำนวนอตรรกยะที่อยู๋ในรูปของกรณฑ์ จะบวกหรือลบกันได้เมื่ออันดับที่ของงกรณฑ์เท่ากัน และจำนวนภายในกรณฑ์เป็นจำนวนเดียวกัน

การคูณ

1. เมื่อ x เป็นจำนวนจริงและ x

0 จะได้

= x

เช่น

= 2 ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ

= 3 ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ

จำนวนจริง (Real Number)

เป็นจำนวนของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ มีคุณสมบัติครอบคลุมทั้งของจำนวนตรรกยะและอตตรกยะสำหรับการบวกและการคูณ ได้แก่ คุณสมบัติ การจักหมู่ การสลับที่ เอกลักษณ์ อินเวอร์ส และสมบัติการกระจาย เป็นต้น

ตัวอย่างของจำนวนจริง คือ จำนวนในทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์

เช่น

,15,π,

1.333…. ,5, 0 ,1 , -10 , ……

นอกจากคุณสมบัติดังกล่าวข้างต้นจำนวนจริงมีคุณสมบัติเพิ่มดังนี้

สมบัติการเท่ากัน (Equality Properties)

คุณสมบัติการสะท้อน ให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a = a
คุณสมบัติการสมการ ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว ถ้า a = b แล้ว b = a
คุณสมบัติการถ่ายทอด ให้ a,b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วถ้า a = b แล้ว b + cแล้ว a+c
คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้วถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้วถ้า a = b แล้ว ac = bc

ตัวอย่าง จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติเกี่ยวกับจำนวนจริงในแต่ละขั้นตอน

3(x-5) = x + 9

3x-15 = x + 9 (ใช้สมบัติการกระจาย)

3x – x – 15 + 15 = x+(-x) + 9 +15 (ใช้สมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน)

2x = 24

(2x) = (24) (ใช้สมบัติคูณด้วยจำนวนเท่ากัน)

จะได้ว่า x = 12

อสมการ (Tnequality)

อสมการ หมายถึง การไม่เท่ากันของสิ่งของหรือการเปรียบเทียบจำนวน

คุณสมบัติไตรกรณี

กำหนอดให้ a, b เป็นจำนวนจริงใด ๆ เมื่อมีการเปรียบเทียบจะเกิดกรณีใด ๆ ดังนี้