สื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ บทที่ 3-4

บทที่ 3 การคำนวณเกียวกับระบบเลขฐาน

การคำนวณเกียวกับระบบเลขฐาน (Operations on Base oF Radix)

แนวคิด

จำนวนที่อยู่ในระบบเลขฐานเดียวกันหรืออยู่ต่างฐานกันสามารถปฏิบัติการบวก ลบ คูณ หารกันได้ การบวกและการคูณเป็นการเพิ่มขึ้นของจำนวน ถ้าเป็นเลขฐานเดียวกันเมื่อจำนวนเพิ่มมากขึ้นจนมากกว่าจำนวนของฐานที่กำหนดไว้ หรือจะเรียกว่าหนึ่งรอบที่กำหนดจะต้องมีกฎเกณฑ์ในการดำเนิดการ และทำนองเดียวกันกับการและการหารซึ่งเป็นการลดลงสามารถดำเนินการภายในฐานเดียวกันได้ในบทนี้จะทำให้เห็นภาพของการบวก ลบ คูณ หาร โดยอาศัยรูปแบบของระบบเลขฐานสิบเป็นแบบ

เนื้อหา

1. การบวก ลบ คูณ และหาร เลขฐาน
2. การบวก เลขฐาน 10,2,8,16
3. การลบ เลขฐาน 10,2,8,16
4. การคูณ เลขฐาน 10,2,8,16
5. การหาร เลขฐาน 10,2,8,16

จุดประสงค์

1. นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนและวิธีการในการแปลงเลขฐาน ใด ๆ ได้ (K)
2. นักเรียนสามารถเปลี่ยนเลขฐานไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ได้ (P)
3. นักเรียนเห็นความสำคัญของการแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์ (A)

การบวก ลบ คูณ และหารเลขฐาน

การบวก ลบ คูณ หาร โดยทั่วไปจะปฏิบัติการได้เมื่อจำนวนเหล่านั้นจะต้องเป็นระบบเลขฐานเดียวกัน  สำหรับหลับเลขฐาน 10 เป็นระบบที่ใช้ในการปัจจุบันของการดำรงชีวิตของมนุษย์ และคุ่มเคยส่วนเลขฐานอื่น ๆ ก็อาศัยกฎเกณฑ์ของการบวก ลบ  คูณ และหารในระบบฐาน 10 เป็นแบบอย่างเช่นเดียวกัน

การบวกเลขฐาน 10,2,8,และ16

     หลักการ

1. ตั้งหลักสำคัญน้อยสุด LSD ให้ตรงกันจากขวาไปซ้าย กรณีเป็นจำนวนเต็ม และจากซ้ายไปขวาเมื่อเป็นทศนิยม ถ้าไม่ครบให้เติมเลข 0
2. บวกจำนวนเลขที่อยู่ในหลักตรงกันจากขวามือไปซ้ายมือ

• ถ้าผลบวกน้อยกว่าในหลักตรงกันจากขวามือไปซ้ายมือ
• ถ่าผลบวกมากกว่าเลขฐานนั้นจะต้องเอาค่าฐานมาหักออกเสียก่อนเพื่อเป็นตัวทดของหลักถัดไป

หมายเหตุ การบวกลบฐานสิบต้องอาศัยหลักการทดเมื่อผลบวกเท่ากับหรือมากกว่าฐาน เพียงแค่ดูง่ายเพราะคุ้นเคยกับระบบฐานนี้

ระบบเลขฐาน 2

หลักการ

1. ตั้งหลักเลขที่ให้ตรงกันเหมือนกับฐาน 10
2. การทดจะทำเมื่อผลบวกเท่ากับหรือมากกว่าเลขฐาน 2 (ต่าน้อยกว่าฐานใส่ได้เลย)

ให้ทำผลบวกนั้นเป็นฐาน 2 แท้จริง โดยการเอาเลขฐาน 2 หารเลขฐาน 2 หารเลขจำนวนผลบวกนั้นแล้วหาเศษจาก MSD ไป LSD (ดูตัวอย่างประกอบ)แล้วจึงใส่ตัวน้อยและทดตัวมากในหลักถัดไป

    

หลักการคิด

1.ตั้งเลขหลักให้ตรงกันจาก LSD ไป MSD

2.หลักขวามือสุด (LSD) บวกกัน 1 + 1 = 2

3.หลักที่ 2 บวกกัน 1+1+0 = 2 เป็นหลักฐาน 2 คือ (10)2   ใส่ 0 ทด 1 ในหลัก MSD ถัดไป

4.หลักที่ 3 บวกกัน 1+0+0 =1 น้อยกว่าเลขฐาน 2 ใส่ผลได้เลย

5.หลักที่ 4 ไม่มีตัวทศ  บวกกัน 1+1 = 2 ทำเป็นเลขฐาน 2 คือ (10)2 เป็นหลักสุดท้าย ใส่ (10)2  ทั้งหมด

6.ได้คำตอบรวม

หมายเหตุ         อาจคิดเลขที่เกินฐาน 2 ง่ายๆ ดังนี้ เช่น 3 ในฐาน  2 จะต้องเป็น  = 1 เศษ 1 คือ (11)2  หรือ   = 1 เศษ 0 คือ (10)2

     

หลักการคิด

ระบบฐาน 8

หลักการ

1. ตั้งเลขให้ตรงกันเหมือนฐาน 10
2. บวกตามปกติจะทำการทดเมื่อผลบวกเท่ากับหรือมากกว่าฐาน 8 (ค่าน้อยกว่าฐานใส่ได้เลย)

• ให้ทำผลบวกนั้นเป็นฐาน 8 แท้จริง โดยเอาผลบวกนั้นตั้งหารด้วยเลขฐาน 8 แล้วหาเศษส่วน MSD ไป LSD เป็นผลลัพธ์
• ใส่เลขตัวค่าน้อยทางขวามือและทดตัวมากซ้ายมือไปไว้ในหลักถัดไป

หลักการคิด

ระบบฐาน 16

  หลักการ

1.ตั้งเลขให้ตรงกันเหมือนฐาน 10

2. บวกตามปกติจะทำการทดเมื่อผลบวกมากกว่าหรือเท่ากับฐาน 16 (ถ้าน้อยกว่าฐานใส่ได้เลย)

• ให้ทำผลบวกนั้นเป็นฐาน 16 แท้จริง โดยเอาผลบวกนั้นตั้งหารด้วยเลขฐาน 16 แล้วหาเศษส่วน MSD ไป LSD เป็นผลลัพธ์
• ใส่เลขตัวค่าน้อยทางขวามือและทดตัวมากซ้ายมือไปไว้ในหลักถัดไป

การลบในเลขฐาน 10,2,8 และ 16

การลบในระบบเลขฐานโดยทั่วไปใช้หลักการเดียวกัน

หลักการ

1. ตั้งตัวตั้งและตัวลบให้ตรงกันโดยยึดหลัก LSD ทั้งเลขจำนวนเต็มและทศนิยม หรือกล่าวคือตั้งตำแหน่งจุดทศนิยมให้ตรงกัน
2. ทำการลบจากหลักขวามือวุด (LSD) ไปซ้ายสุด (MSD)

• ถ้าตัวตั้งน้อยกว่าลบขอยืนจากหลัก MSD ถัดไปมา 1 หลักที่ถูกยืมลดลง 1
• เลขที่ยืมมา 1 มีค่าเท่ากับเลขฐานนั้นแล้วนำไปรวมกับตัวตั้งเดิม แล้วจึงทำการลบปกติ

ระบบฐาน 10 เป็นการลบที่คุ่มเคยและสามารถใช้เป็นแบบได้

จากตัวอย่างพบว่าหลักที่ 2 ตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบจึงทำการยืมจากเลข 3 มา 1 ซึ่ง 1ในระบบฐาน 10 คือ 10 ไปนวมกับตัวตั้งเดิม คือ 5 เป็น 5+10 = 15 และ 15 เป็นตัวตั้งในหลักที่ 2 แทน 5 เดิม

ระบบเลขฐาน 2

ดำเนินการลบตามหลักการดังตัวอย่างต่อไปนี้

หลักการคิด

1. หลักที่ 1.(LSD) ขวามือสุด 1-0 = 1
2. หลักที่ 2. 0-1 ตัวตั้งน้อย ไปยืมจากหลักที่ 3 มา 1 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 แล้วลบ 1 เหลือ 1
3. หลักที่ 3. 1 ถูกยืมไปจึงเหลือ 0 ได้ 0-1 ต้องไปยืมหลักที่ 4 มา 1 มีค่าเท่ากับ 2 เป็นตัวตั้งหลักนี้จะได้ 2-1  = 1
4. หลักที่ 4. 1 ถูกยืมไปจึงเหลือ 0 ต้องไปยืมหลักที่ 5 แต่หลักที่ 5 ไม่มีไปยืมหลัก ที่6 มา 1 มีค่าเท่ากับ 2 มาไว้ที่หลัก 5 แบ่งไปให้ หลักที่ 4 จะได้ 2- 1 = 1
5. หลักที่ 5. จะได้ 1-0 = 1
6. หลักที่ 6. 7 ผลลบเป็น 0

ระบบฐาน 8

ปฏิบัติการลบตามหลักการข่างต้นดังตัวอย่างต่อไปนี้

หลักการคิด

หลักที่ 1 . ลบไม่ได้ยืมหลักที่ 2 มา 1 เป็น 8 จะได้ (8+2) -4 = 6

หลักที่ 2.  เหลือ 4 จะได้ 4-3 = 1

หลักที่ 3.  ลบไม่ได้ยืมหลักที่ 4 มา 1 เป็น 8 จะได้ (8+3) -6 = 5

หลักที่ 4.  เหลือ 0 ลบไม่ได้ยืมหลักที่ 5 มา 1 เป็น 8 จะได้ (8+0) – 7 = 1

หลักที่ 5. เหลือ 3

หมายเหตุ การลบจำนวนที่เป็นทศนิยมก็ทำในลักษณะเดียวกัน

ระบบฐาน 16

ปฏิบัติการลบหลักการและทำนองเดียวกับเลขฐาน 2,8 แต่การยืม 1 หลักจะมีค่า เป็น 16 นำมาบวกกับตัวเดิมและจึงจะทำการลบต่อไป

หลักการคิด

หลักที่1. ลบกันได้ 14-11 = 3

หลักที่2. 10-10 ไม่ได่ยืมหลักที่ 3 มา 1 เป็น 16 จะได้ (16+10) – 12 = 14

หลักที่3. เหลือเป็น 2-4 ไม่ได้ยืมหลักที่ 4 มา 1 เป็น 16 จะได้ (16+6) – 4 = 14

หลักที่4. เหลือเป็น 6-8 ไม่ได้ยืมหลัก 5 มา 1 เป็น 16 จะได้ (16+6) – 8 = 14

หลักที่5. ถูกยืมไป 1 จะเหลือ 12

หมายเหตุ เลขฐาน 16 ใช้ A = 10, B 11, C = 12, D = 13, E = 14 , F = 15

การคูณเลขฐาน 10,2,8 และ 16

หลักการ

1. ตั้งเลขหลัก LSD ค่าน้อยสุดของตัวตั้งและตัวคูณให้ตรงกัน (ทำใหตัวตั้งและตัวคูณทำให้เป็นเลขฐานเดียวกันก่อน)
2. ทำการคูณเช่นเดียวกับฐาน 10 ตามปกติ

ระบบฐาน 10

ระบบฐาน 2

หลักการคิด

1. ตัวคูณที่ 1 นำไปคูณตัวตั้งแล้วใส่ผลลัพธ์ให้ตรงกับตัวคูณตัวคูณที่ 2 นำไปคูณตัวตั้งแล้วใส่ผลลัพธ์ให้ตรงกับตัวคูณ
2. ผลคูณของตัวคูณแต่ละชุดนำมาบวกกันด้วยการบวกแบบฐาน

ระบบฐาน 8

ระบบฐาน 16

การหารเลขฐาน 10,2,8 และ 16

หลักการ การหารมีแนวทาง 2 แบบ คือ

1. แปลงตัวตั้งและตัวหารไปอยู่ในฐาน 10 ที่สามารหารได้คำตอบแล้วจึงแปลงกลับมาเป็นเลข

ฐานนั้น

2. หารตามเลขฐานที่โจทย์กำหนด โดยวีธีตั้งหารยาวซึ่งอาจทำได้ยากว่าแบบที่ 1

ระบบฐาน 10

การหารในระบบฐาน 10 เป็นแม่นแบบสำคัญสำหรับเลขฐานอื่น หรือใช้ปฎิบัติการแทนตามการหารแบบที่ 1

วิธีการ

1. ตั้งหารแบบยาว
2. ตัวตั้งหารด้วยตัวหารใส่ผลลัพธ์ที่เท่ากับหรือน้อยกว่าที่ใกล้เคียงที่สุด ตัวตั้ง – ผลคูณ เป็นตัวตั้งในการหารขั้นตอนต่อไป

3. การหารสิ้นสุดเมื่อตัวตั้งสุดท้าย (ขวามือสุด) หรือผลจากการลบเพื่อเป็นตัวตั้งน้อยกว่าตัวหาร ซึ่งถือเป็นเศษของการการ ถ้าเศษ 0 การหารนั้นลงตัว

ระบบฐาน 2

การหารระบบฐาน 2

วิธีการ

1. ตั้งหารยาวในระบบ ฐาน 2 ด้วยกัน

2. เอา 101 หาร 100 ไม่ได้ต้องเป็น 1000ได้ 1 ครั้ง ใส่ 1 ตรง 0 ตัวสุดท้าย ของ 1000

เอา 101  1 = 101 ไปเป็นตัวลบตรงกับ 1000 แล้วลบในระบบฐาน 2 ได้ 11 เป็นตัวตั้งต่อไป โดยดึง 0 หลักถัดไปเป็นตัวตั้งจึงกลายเป็น 110

3. เอา 101 หาร 110 ได้ 1 ครั้งใส่ 1 ตรง 0 ตัวสุกท้ายของ 110 เอา 1001 = 101ไปเป็นตัวลบของ 110 ได้ 101 เป็นตัวตั้งต่อไป

4. เอา 101 หาร 10 ไม่ได้ต้องใส่ 0 ที่ผลลัพธ์ไว้แต่หาร 101 ได้ 1 ครั่งใส่ 1 ตรง 1 ตัวสุดท้ายของ 101 เอา 1011 = 101 เป็นตัวลบของ 101 ได้ 0 ถือว่าเป็นการหารลงตัว

5. คำตอบคือ (1101)2

ระบบฐาน 8

การหารในระบบฐานเดียวกันอาจยุ่งยากขึ้นเนื่องจากความไม่คุ้นเตยกับสูตรคูณของระบบฐานแต่ก็สามารถทำได้เช่นกันดังตัวอย่างต่อไปนี้

วิธีการ

ระบบฐาน 16

การหารในระบบฐานเดียวกันของฐาน 16 อาจยุ่งยากขึ้นเนื่องจากความไม่คุ้นเคยกับสูตรของระบบฐาน 16 แต่ก็สามารถทำได้เช่นกัน หรืออาจเลือกทำโดยเปลี่ยนตัวตั้งและตัวหารไปเป็นระบบฐาน 10แล้วจึงหารได้ผลลัพธ์แล้วเปลี่ยนกลับเป็นฐาน 16 อีกครั้ง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

วีธีการ